Konu özeti
Sayı ve kesir problemleri, TYT Matematik testinde her yıl ortalama 3 soruyla karşımıza çıkan ve diğer tüm problem türlerinin (yaş, yüzde, işçi, hareket) temelini oluşturan konudur. Bu sorularda senden istenen şey aslında çok nettir: Türkçe verilen bir durumu matematik diline, yani bir denkleme çevirmek ve bu denklemi çözmek.
Konuyu iki ana başlıkta düşünebiliriz:
- Sayı problemleri: "Bir sayının 3 katının 5 eksiği", "ardışık üç çift sayının toplamı", "iki sayının toplamı ve farkı" gibi ifadelerin denkleme dönüştürülmesi.
- Kesir problemleri: "Paranın 2/5'i", "kalanın 1/3'ü", "deponun 3/4'ü dolu" gibi bir bütünün parçalarıyla ilgili sorular.
Bu konuda başarının anahtarı hızlı ve hatasız modelleme yapmaktır. Soruyu okurken bilinmeyene bir harf ver, cümleyi parça parça denkleme çevir, sonra çöz ve sonucu soruda istenen şeyle karşılaştır.
Temel kavramlar ve formüller
Sözel ifadeleri cebirsel ifadeye çevirme (bilinmeyen sayı x olsun):
- Bir sayının 3 katı → 3x
- Bir sayının 3 katının 5 fazlası → 3x + 5
- Bir sayının 5 fazlasının 3 katı → 3(x + 5)
- Bir sayının yarısı → x/2, üçte biri → x/3
- Bir sayının 2/5'i → 2x/5
- Bir sayının karesi → x², küpü → x³
- Bir sayının tersi → 1/x, ters işaretlisi → −x
- İki sayının toplamı 20 ise sayılar x ve 20 − x
Ardışık sayılar:
- Ardışık tam sayılar: x, x + 1, x + 2, ...
- Ardışık çift ya da ardışık tek sayılar: x, x + 2, x + 4, ...
- Tek sayıda ardışık terimin toplamı = ortadaki terim × terim sayısı
- Ardışık sayıların toplamı = (ilk terim + son terim) × terim sayısı / 2
Kesir problemleri:
- Bir bütünün a/b'si → bütün × a/b
- "Bütünün 1/3'ü harcandı" → kalan bütünün 2/3'üdür.
- "Kalanın 1/4'ü harcandı" → kalanın kalanı, önceki kalanın 3/4'üdür. Yani ardışık "kalanın" ifadelerinde kalan oranlar çarpılır: x · 2/3 · 3/4 = x/2.
- Aynı bütünden alınan kesirler toplanır: bütünün 1/4'ü ve 1/3'ü harcandıysa toplam harcanan 1/4 + 1/3 = 7/12, kalan 5/12'dir.
- Bir bütünün a/b'si k ise, bütün = k · b/a.
Bölme ile ilgili problemler:
- A sayısı B'ye bölündüğünde bölüm Q, kalan K ise A = B · Q + K ve 0 ≤ K < B.
Pratik yöntemler
- Bilinmeyeni akıllıca seç: Kesir problemlerinde bütünü, paydaların EKOK'u cinsinden al. Örneğin paydalar 3 ve 4 ise bütüne 12x demek, kesirli işlemleri ortadan kaldırır.
- "Kalanın" kelimesine dikkat: "Kalanın" geçiyorsa oranları çarp, geçmiyorsa aynı bütünün parçaları olarak topla.
- Geriye doğru çözüm: Son durumda kalan miktar verilmişse sondan başa doğru ilerle. Kalanın 3/4'ü 24 ise bir önceki kalan 32'dir.
- Ardışık sayılarda ortayı bul: Ardışık 3, 5, 7 ... sayının toplamı verilmişse toplamı terim sayısına böl; ortadaki sayıyı hemen bulursun.
- Eşitlenen para/miktar: "A, B'ye k verirse eşit olurlar" ifadesi A ile B arasındaki farkın 2k olduğunu söyler.
- Sıra/kişi problemleri: "3'er oturunca 4 kişi ayakta, 4'er oturunca 2 sıra boş" gibi sorularda iki durumdaki öğrenci sayısını eşitle: 3s + 4 = 4(s − 2).
- Şıklardan kontrol: Zaman darlığında şıkları denklemde dene; özellikle tam sayı çıkması gereken kesir sorularında şıklardan hangisinin paydalara bölündüğüne bak.
- Soruda ne isteniyor? x'i bulduktan sonra durma; soru "en büyük sayıyı", "kalanın yarısını" ya da "toplamı" soruyor olabilir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. Bir sayının 4 katının 9 eksiği, aynı sayının 2 katının 15 fazlasına eşittir. Buna göre bu sayının yarısı kaçtır?
Çözüm:
- Sayıya x diyelim. "4 katının 9 eksiği" → 4x − 9, "2 katının 15 fazlası" → 2x + 15.
- Denklem: 4x − 9 = 2x + 15.
- 4x − 2x = 15 + 9 → 2x = 24 → x = 12.
- Soru sayının yarısını istiyor: 12 / 2 = 6.
Örnek 2. Bir öğrenci harçlığının 1/3'ünü kitaba, kalan parasının 2/5'ini ise yemeğe harcamıştır. Geriye 240 TL kaldığına göre öğrencinin harçlığı kaç TL'dir?
Çözüm:
- Harçlık x olsun. Kitaba x/3 harcanınca kalan 2x/3 olur.
- "Kalan parasının 2/5'i" ifadesi 2x/3'ün 2/5'idir; harcandıktan sonra 2x/3'ün 3/5'i kalır.
- Kalan: x · 2/3 · 3/5 = 2x/5.
- 2x/5 = 240 → x = 240 · 5 / 2 = 600 TL.
- Kontrol: Kitap 200 TL, kalan 400 TL; yemek 400 · 2/5 = 160 TL; kalan 240 TL. ✓
Örnek 3. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2'şer oturursa 8 öğrenci ayakta kalıyor, 3'er oturursa 3 sıra boş kalıyor. Buna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözüm:
- Sıra sayısı s olsun. 2'şer oturunca öğrenci sayısı 2s + 8 olur.
- 3'er oturunca s − 3 sıra dolu olur; öğrenci sayısı 3(s − 3) olur.
- Öğrenci sayısı değişmediği için 2s + 8 = 3s − 9 → s = 17.
- Öğrenci sayısı: 2 · 17 + 8 = 42.
- Kontrol: 42 / 3 = 14 sıra dolu, 17 − 14 = 3 sıra boş. ✓
Sık yapılan hatalar
- "Fazlasının katı" ile "katının fazlası"nı karıştırmak: "5 fazlasının 3 katı" 3(x + 5)'tir, "3 katının 5 fazlası" ise 3x + 5'tir.
- "Kalanın" kesrini bütünden almak: "Kalanın 2/5'i" ifadesinde 2/5 bütünün değil, kalan miktarın kesridir.
- x'i bulup cevap sanmak: Soru çoğu zaman x'i değil, x'e bağlı başka bir değeri (en büyük sayı, toplam, kalan miktar) sorar.
- Ardışık tek/çift sayılarda +1 yazmak: Ardışık tek sayılar x, x + 1 değil; x, x + 2 şeklinde ilerler.
- Eşitleme sorularında farkı k almak: "A, B'ye 20 TL verirse eşit olurlar" ise fark 20 değil 40 TL'dir.
- Bölme sorularında kalanı unutmak: Bölüm ve kalan verilen sorularda A = B · Q + K eşitliğini kurmadan işlem yapmak.
- Birimleri gözden kaçırmak: Sayfa, TL, litre gibi birimlerin sorunun farklı yerlerinde değişmediğinden emin ol.
ÖSYM'de nasıl soruluyor
- ÖSYM bu konuda çoğunlukla günlük hayat bağlamlı uzun metinler kullanır: market alışverişi, kitap okuma, depo doldurma, otopark, sınav puanlaması gibi.
- Sorular genellikle tek bir denklem ya da iki bilinmeyenli basit bir denklem sistemi kurularak çözülür; ağır işlem yoktur, asıl zorluk metni doğru modellemektir.
- "Buna göre ... kaçtır?" kalıbıyla biten sorularda istenen değer çoğunlukla bulunan x değildir; ara değer şıklarda çeldirici olarak yer alır.
- Son yıllarda tablo içinde verilen bilgiler ya da iki aşamalı durumlar (önce şu olur, sonra bu olur) sıklıkla kullanılmaktadır.
- Kesir sorularında paydalar genellikle birbirine uygun seçilir; sonuç tam sayı çıkmıyorsa büyük olasılıkla modellemede hata vardır.
Kısa tekrar
- Bilinmeyene harf ver, cümleyi parça parça denkleme çevir.
- "Katının fazlası" ≠ "fazlasının katı".
- Aynı bütünün kesirleri toplanır; "kalanın" kesirlerinde kalan oranlar çarpılır.
- Bütünü paydaların EKOK'u cinsinden seçmek işlemi kolaylaştırır.
- Ardışık tek/çift sayılar 2'şer artar; tek sayıda terimde toplam = orta terim × terim sayısı.
- "k verirse eşit olurlar" → aradaki fark 2k.
- Bölme: A = B · Q + K, K < B.
- Cevabı işaretlemeden önce sorunun tam olarak neyi istediğini tekrar oku ve sonucu metne yerleştirip kontrol et.