Formül atölyesi
Kuralı gör, örnekte dene, sonra kendi kaleminle çöz.
9 bölüm · ~18 dk · 18 etkileşim
Kümeler, TYT Matematik testinde genellikle 1 soruyla doğrudan yer alır; ayrıca sayma, olasılık ve problem sorularında da Venn şeması mantığı sık sık işe yarar. Konunun özü, elemanları doğru saymak ve hiçbir elemanı iki kez saymamaktır.
1Küme, eleman ve gösterim
İlk bölüm! Temeli burada atıyoruz, acele etme.
Konunun dilini oluşturan dört kavramı kartlarla tekrar et; çevirmeden önce tanımı kendin söylemeye çalış.
Bir küme üç biçimde gösterilebilir:
| Yöntem | Örnek ve not |
|---|---|
| Liste yöntemi | A = {2, 4, 6, 8}. Elemanlar bir kez yazılır, sıranın önemi yoktur. |
| Ortak özellik yöntemi | A = {x | x çift doğal sayı ve 0 < x < 10} |
| Venn şeması | Elemanlar kapalı bir eğrinin içinde noktalarla gösterilir. Problemlerde bölgelere sayı yazmak en güvenli yoldur. |
2Alt küme
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
A'nın her elemanı B'nin de elemanıysa A ⊂ B yazılır. Her küme kendisinin alt kümesidir; boş küme her kümenin alt kümesidir. Kendisi dışındaki alt kümelere öz alt küme denir.
A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi veriliyor. A'nın alt küme sayısını, 3 elemanlı alt küme sayısını ve 1 elemanı bulunup 2 elemanı bulunmayan alt küme sayısını bulunuz.
A = {a, b, c, d, e} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
3Kümelerle işlemler
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
E evrensel küme olmak üzere dört temel işlem vardır:
| İşlem | Gösterim | Anlamı |
|---|---|---|
| Birleşim | A ∪ B | En az birinde bulunan elemanlar |
| Kesişim | A ∩ B | Her ikisinde de bulunan elemanlar. A ∩ B = ∅ ise A ile B ayrık kümelerdir. |
| Fark | A − B (A \ B diye de yazılır) | A'da olup B'de olmayan elemanlar |
| Tümleyen | A′ = E − A | Evrensel kümede olup A'da olmayan elemanlar |
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve B = {2, 4, 6, 8, 10} kümeleri veriliyor.
Buna göre A − B kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
4Eleman sayısı ve Venn problemleri
Bunu bir arkadaşına anlatabilir misin? Kafanda bir dene.
32 kişilik bir sınıfta İngilizce kursuna 20, Almanca kursuna 15 öğrenci gitmektedir. Her iki kursa giden öğrenci sayısı 7'dir. Hiçbir kursa gitmeyen ve yalnızca bir kursa giden öğrenci sayılarını bulunuz.
s(A ∪ B) = 20, s(A − B) = 7 ve s(B − A) = 5 olduğuna göre s(A) ve s(B) kaçtır?
Şimdi sen dene:
45 kişilik bir sınıfta matematik kursuna 24, fizik kursuna 19 öğrenci gitmektedir. Her iki kursa da giden öğrenci sayısı 8'dir.
Buna göre bu kurslardan hiçbirine gitmeyen öğrenci sayısı kaçtır?
5Üç kümeli problemler
Yarıyı geçtin, harika gidiyorsun! 4 bölüm kaldı.
Üç kümede ikili kesişimler çıkarılınca üçlü kesişim tamamen silinir; bu yüzden formülün sonunda bir kez geri eklenir.
50 kişilik bir grupta futbolu sevenler 25, basketbolu sevenler 20, voleybolu sevenler 18 kişidir. Futbol ve basketbolu sevenler 8, futbol ve voleybolu sevenler 7, basketbol ve voleybolu sevenler 6, üçünü de sevenler 3 kişidir. Hiçbirini sevmeyen kaç kişi vardır?
6Kartezyen çarpım
Takıldığın yere not al, sonra birlikte döneriz.
Kartezyen çarpım iki kümeden sıralı ikililer oluşturur ve eleman sayısı çarpma ile bulunur.
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri veriliyor. A × B kümesini yazınız, eleman sayısını ve A × B'nin alt küme sayısını bulunuz.
7Sık yapılan hatalar
Önemli yerleri altını çizer gibi oku.
Aşağıdaki ifadeler öğrencilerin en sık düştüğü hatalardan derlendi. Hangileri doğru?
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) yazılabilir.
"İngilizce bilenler" kesişimi içermez.
Sınıf mevcudu sorulduğunda birleşime hiçbir kümeye dâhil olmayanlar eklenmelidir.
Üç küme formülünde ikili kesişimleri çıkarmak yeterlidir.
Kümenin kendisi bir öz alt kümedir.
Kartezyen çarpımda (2, 5) ile (5, 2) aynı elemandır.
8ÖSYM'de nasıl soruluyor
Örneklere dikkat et; soruların çoğu buradan çıkar.
- En sık kurgu, sınıf/kurs/spor gibi günlük hayat durumlarında iki ya da üç kümeli Venn şeması problemleridir. "Yalnızca birine", "en az birine", "hiçbirine" ifadelerine dikkat edilir.
- Bazen kümelerin eleman sayıları arasında oran verilir ("İngilizce bilenler Almanca bilenlerin 2 katıdır"); bölgelere x yazılarak denklem kurulur.
- Alt küme sayısı soruları "belirli elemanlar bulunsun/bulunmasın", "en az bir … bulunsun" biçiminde gelir.
- Kartezyen çarpım sorularında genellikle eleman sayıları arasındaki ilişkiden s(A) ve s(B) bulunur.
9Kısa tekrar
Son bölüm! Biraz kaldı, bitirmek üzeresin.
n elemanlı kümenin alt küme sayısı , öz alt küme sayısı 'dir. r elemanlı alt küme sayısı 'dir. Belirli k eleman bulunan (ya da bulunmayan) alt küme sayısı 'dir. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) − . s(A − B) = s(A) − s(A ∩ B); A − B = . Üç kümede ikili kesişimler , üçlü kesişim . s(A × B) = ; sıralı ikililerde .